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In mwawgeometria, la mwbaversiera o mwbqversiera mwbgdi Agnesicite-ref-1[1]cite-ref-2[2]cite-ref-3[3] è una mwewcurva del mwfapiano, costruibile sinteticamente attraverso procedimenti geometrici elementari ed esprimibile analiticamente mediante una mwfqfunzione razionale. La versiera è caratterizzata da una forma a campana, simile a quella della mwfgdistribuzione gaussiana.

Attribuita a mwhaMaria Gaetana Agnesi, che la descrisse in mwhqInstituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (mwhg1748);cite-ref-4[4] in realtà era già stata studiata da mwiwPierre de Fermat nel mwja1666 e da mwjqGuido Grandi nel mwjg1703.cite-ref-5[5]cite-ref-6[6] Il nome attribuito da Grandi alla curva era mwlwversoria e derivava dall'omonimo termine mwmalatino che indicava la corda legata all'estremità di una vela, utilizzata per le virate. Fu Maria Gaetana Agnesi a mwmqintrodurre il nome mwmgversiera.

Il traduttore inglese del libro della Agnesi (mwnaJohn Colson) intese mwnqversiera come abbreviazione di mwngavversiera, cioè intendendo mwnwavversaria di Dio, o mwoastrega, e denominò la curva mwoqwitch of Agnesi (strega di Agnesi), nome con il quale è conosciuta in numerose lingue.cite-ref-wassenaar-7-0[7]cite-ref-8[8]cite-ref-9[9]

• Costruzione

• Equazione

• Proprietà

• Applicazioni

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Data una mwtqcirconferenza di centro mwtg ( 0 , a ) {\displaystyle (0,a)} e di raggio mwtw a {\displaystyle a} e una mwuaretta mwuq t {\displaystyle t} parallela all'asse mwug x {\displaystyle x} di equazione mwuw y = 2 a {\displaystyle y=2a} mwvatangente al cerchio nel punto mwvq ( 0 , 2 a ) {\displaystyle (0,2a)} , e un mwvgfascio di rette passanti per l'origine degli mwvwassi, la versiera è il luogo dei punti mwwa M {\displaystyle M} che hanno: come ascissa, l'ascissa del punto mwwq L {\displaystyle L} di intersezione di una generica retta del fascio con la tangente mwwg t {\displaystyle t} ; come ordinata, l'ordinata del punto mwww C {\displaystyle C} di intersezione della stessa retta del fascio con la circonferenza.

Applicando la costruzione sopra descritta, l'mwygequazione cartesiana della curva è:cite-ref-oconnor-10-0[10]

mwaq y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 {\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}} .

L'mwawequazione parametrica è invece:

mwbg { x = 2 a tan ⁡ ⁡ ( θ θ ) y = 2 a cos 2 ⁡ ⁡ ( θ θ ) {\displaystyle {\begin{cases}x=2a\tan(\theta )\\y=2a\cos ^{2}(\theta )\end{cases}}}

dove mwca θ θ {\displaystyle \theta } è l'angolo formato dalla retta del fascio con l'asse delle ordinate.

Una parametrizzazione che fa uso solo di funzioni algebriche è la seguente:cite-ref-oconnor-10-1[10]

mwea { x = 2 a t y = 2 a 1 + t 2 {\displaystyle {\begin{cases}x=2at\\y={\dfrac {2a}{1+t^{2}}}\end{cases}}}

Per mwew a = 1 / 2 {\displaystyle a=1/2} , l'equazione diventa

mwfg y = 1 x 2 + 1 {\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}} ,

che è la mwgaderivata dell'mwgqarcotangente.

L'area racchiusa tra la versiera e l'asse delle ascisse vale mwgw 4 π π a 2 {\displaystyle 4\pi a^{2}} , ovvero il quadruplo dell'area del cerchio utilizzato nella costruzione.

mwhqRuotando la curva attorno all'asse delle ascisse si ottiene una superficie a forma di fuso il cui mwhgvolume vale mwhw 4 π π 2 a 3 {\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}} .cite-ref-11[11]

La versiera trova applicazione in mwjgfisica nella descrizione di alcuni fenomeni di mwjwrisonanza: un mwkaatomo o, più in generale, una molecola, sono sistemi microscopici dotati, per dinamica interna, di stati stazionari di equilibrio. Gli atomi e le molecole, in condizioni ordinarie, si trovano in mwkqequilibrio termodinamico, in stati stabili, ossia negli stati a minor contenuto energetico. Se un atomo viene colpito da una mwkgradiazione elettromagnetica monocromatica, ossia se esso è perturbato esternamente da una forza periodica armonica, allora, come tutti i sistemi dinamici in equilibrio, o in situazioni prossime all'equilibrio, esso reagisce assorbendo, eccitandosi, ossia portandosi in uno stato a maggior contenuto di energia, e, successivamente, emettendo l'energia assorbita, diseccitandosi e riportandosi allo stato più stabile possibile; nel caso che la perturbazione apporti energia in forma elettromagnetica, l'atomo riemette, in condizioni di risonanza, tale energia radiante nella medesima forma: secondo l'ipotesi quantistica di Planck, la risonanza ideale avviene con uno scambio di energia corrispondente esattamente al salto energetico subito dall'atomo, ossia in corrispondenza di una frequenza di risonanza univocamente determinata.

Tuttavia, in condizioni reali, per la presenza di altri effetti più sottili, dovuti, in parte, alla presenza di altri atomi, lo spettro di radiazione non è semplicemente monocromatico, cioè non presenta una distribuzione di Dirac, ma, piuttosto, esibisce una distribuzione di frequenze avente una certa mwlalarghezza di banda, con un profilo di intensità dipendente dalla mwlqfrequenza della radiazione stessa; la relazione tra l'intensità della radiazione emessa (o assorbita) e la frequenza di oscillazione della radiazione medesima, in certe circostanze, è data dalla funzione "versiera di Agnesi". La funzione di Agnesi, nell'ambito degli studi sugli spettri atomici e molecolari, è chiamata funzione lorentziana o mwlgdistribuzione di Lorentz; la lorentziana di assorbimento (e di emissione) ha il massimo in corrispondenza della lunghezza d'onda (e quindi della frequenza) della luce incidente per la quale si avrebbe la risonanza idealmente monocromatica, cioè in corrispondenza della ideale distribuzione di Diraccite-ref-wassenaar-7-1[7]mwmw ; rispetto a tale massimo, il profilo di Lorentz è simmetrico. Diversi fenomeni fisici causano allargamenti di riga di tipo lorentziano: nel caso in cui nessuno di essi sia di entità trascurabile, cioè qualora le "larghezze" dei vari profili lorentziani siano confrontabili, la loro mwnaconvoluzione è un profilo matematico ancora di tipo lorentziano, con larghezza pari alla somma delle larghezze dei singoli profili.

Vi sono ulteriori circostanze fisiche per le quali la risonanza tra atomi e mwngradiazione elettromagnetica mostra un allargamento di riga con profilo gaussiano. Anche in questo caso, se sono significativi diversi fenomeni fisici, ciascuno dei quali determina un allargamento di riga di tipo gaussiano, la loro convoluzione ha ancora un profilo gaussiano, ma con "larghezza" pari alla radice quadrata della somma dei quadrati delle singole larghezze gaussiane.

In generale, la larghezza di riga di un atomo è dunque l'integrale di convoluzione tra un profilo gaussiano ed un profilo lorentziano (o "di Agnesi"); tale profilo di convoluzione è noto come integrale di Voigt, ed è una trascendente superiore. Se, infatti, le larghezze, rispettivamente, della lorentziana mwoarisultante e della gaussiana mwoqrisultante da convolvere, sono confrontabili, allora l'integrale di Voigt non è esprimibile in forma chiusa, cioè non è rappresentabile analiticamente in termini finiti di sole funzioni elementari. Se invece una delle due curve è molto più larga dell'altra, allora l'integrale di Voigt si approssima con il profilo più largo, in quanto quello più stretto, nell'integrale di convoluzione, si comporta, al limite, approssimativamente, come una mwogdelta di Dirac.

La funzione di Agnesi appare anche in contesti di fisica o di ingegneria differenti dallo studio o dall'applicazione tecnologica degli spettri atomici e molecolari: in tali ambiti è chiamata, ancora una volta, funzione di Lorentz.

In mwpqstatistica, la distribuzione di una mwpgvariabile casuale di Cauchy è espressa da una versiera.

cite-note-11. ↑ mwrqmwrgmwrwAgnesi, versiera di - Enciclopedia, su mwsaTreccani. mwsqURL consultato il 25 marzo 2026.

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cite-note-33. ↑ mwvqSilvia Beltramino Pierangela Accomazzo, mwvgEsplorazioni Matematiche con Geogebra II, collana mwvwPLS Matematica, Ledizioni, 2014, mwwaISBNmwwq 978-88-6705-255-4.

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cite-note-66. ↑ Nelle sue note al mw1gTrattato del moto naturalmente accelerato di Galileo, Grandi fa riferimento a «mw1w quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature (1703), alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi mw2aVersiera, in latino però mw2qVersoriamw2g » (G. Galilei, mw2wOpere, III, Firenze, 1718, p. 393). Il nuovo termine si trova in mw3aLorenzo Lorenzini, mw3qExercitatio geometrica, Firenze, 1721: «mw3g sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominatmw3w » (p. XXXI).

cite-note-wassenaar-77. ↑ mw5qmw5gWassenaar

cite-note-88. ↑ mw6gmw6wBruen

cite-note-99. ↑ mw7wmw8aLee

cite-note-oconnor-1010. ↑ mw9gmw9wO'Connor, Robertson

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• citeref1(EN) Jan Wassenaar, Resonance curve, su 2dcurves.com. URL consultato il 22 agosto 2008.

• citeref4(EN) Robert Bruen, A Brief History of The Lucasian Professorship of Mathematics at Cambridge University, su lucasianchair.org, maggio 2005. URL consultato il 22 agosto 2008 (archiviato dall'url originale il 1º giugno 2009).

• citeref2(EN) Xah Lee, Witch of Agnesi, in A Visual Dictionary of Special Plane Curves. URL consultato il 22 agosto 2008.

• citeref3(EN) John O'Connor, Edmund Robertson, Witch of Agnesi, in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 22 agosto 2008.

• mwaq4Maria Gaetana Agnesi

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Versiera

• citereftreccani-itversiera, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-della-matematicaAgnesi, versiera di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) Witch of Agnesi, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Witch of Agnesi, su MathWorld, Wolfram Research.